Esercizi sui logaritmi

Esercizi sui logaritmi – Vi lascio degli esercizi sui logaritmi con i rispettivi svolgimenti in delle immagini.

Gli esercizi sui logaritmi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Esercizio 1:

logaritmo in base 2 di b/a radice sesta di 2 = logaritmo in base 2 di b – log in base 2 di a radice sesta di 2

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine dello svolgimento completo di questo logaritmo.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento completo di questo logaritmo.

Esercizio 2:

logaritmo in base 3 di b – 2 logaritmo in base 3 di c + 1/2 logaritmo in base 3 di 8

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sui logaritmi.

Esercizio 3:

logaritmo in base 5 di 25 radice quarta di b^3 * a / radice cubica di c^2

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sui logaritmi.

Esercizio 4:

1/4 logaritmo di a – 1/3 logaritmo di b

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sui logaritmi.

Esercizio 5:

1/2 (logaritmo di 7 + logaritmo di x – logaritmo di 3)

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Esercizi sistemi di disequazioni

Esercizi sistemi di disequazioni  – Vi lascio degli esercizi sui sistemi di disequazioni (di primo e di secondo grado) con i rispettivi svolgimenti in delle immagini.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Esercizio 1

sistema a 3 fra:

x + 1 <= 0

x – 3 < 0

2x – 5 < 0

Cliccate Qui per visualizzare direttamente l’immagine di questo esercizio relativo ai sistemi di disequazioni.

Esercizio 2

sistema a 2 fra:

x^2 + 12 x + 35 > 0

x^2 – x – 6 > 0

Cliccate Qui per visualizzare direttamente la prima immagine di questo esercizio relativo ai sistemi di disequazioni.

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Esercizio 3

sistema a 2 fra:

x^2 – 5x + 6 > 0

(2x – 3) (x + 1) < 0

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Esercizio 4

sistema a 3 fra:

x + 1 / x – 2 < 1

(x^5-x^3) (x^2+4) (x+1) <0

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Esercizio 5

sistema a 3 fra:

x + 1 / x – 2 < 1

2x – 7 >= 0

3x + 1 > 0

(2x – 7) < (3x + 1)^2

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Disequazioni di grado superiore al secondo

Disequazioni di grado superiore al secondo – Vi lascio degli esercizi sulle disequazioni di grado superiore al secondo con i rispettivi svolgimenti in delle immagini.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Esercizio 1:

Disequazione di grado superiore al secondo: x^4 + 3 >= 0

Cliccate Qui per visualizzare direttamente la prima immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di grado superiore al secondo.

Cliccate Qui per visualizzare direttamente la seconda immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di grado superiore al secondo.

Esercizio 2:

Disequazione di grado superiore al secondo: x^8 – 15x^4 – 16 >=0

Cliccate Qui per visualizzare direttamente l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio.

Esercizio 3:

Disequazione di grado superiore al secondo: x^6 + 8x^3 >= 0

Cliccate Qui per visualizzare direttamente l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio.

Cliccate Qui se vi interessa vedere anche gli esercizi svolti sui sistemi di disequazioni (di primo e di secondo grado).

Esercizi disequazioni di secondo grado

Esercizi disequazioni di secondo grado – Vi lascio degli esercizi sulle disequazioni di secondo grado con i rispettivi svolgimenti in delle immagini.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Esercizio 1:

Disequazione di secondo grado: 4 (x^2-1) + (x+1) (x-3) <  0

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Esercizio 2:

Disequazione di secondo grado: x (x+2 radice quadrata di 2) +2 (radice quadrata di 2x – 6)< 3 radice quadrata di 2x

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Esercizio 3:

Disequazione di secondo grado: x/x+7 – 2/x-3 > x/x-3

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizio 4:

Disequazione di secondo grado: 6-4x/x^2+2x-3 + x+3/x-1 <= 2/x+3

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizio 5:

Disequazione di secondo grado: 6-4x/x^2+2x-3 + x+3/x-1 <= 2/x+3

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizio 6:

Disequazione di secondo grado: x^2+2x+9 >= 0

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizio 7:

Disequazione di secondo grado: 2x^2+3x+5/x^2-x+3 < -1

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Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento completo di questo esercizio sulle disequazioni di secondo grado.

Esercizi sulle equazioni esponenziali

Esercizi sulle equazioni esponenziali – Vi lascio degli esercizi sulle equazioni esponenziali con i rispettivi svolgimenti in delle immagini.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Esercizio 1:

Equazione esponenziale: 2^x = 16 radice quadrata di 2

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Esercizio 2:

Equazione esponenziale: 4^2x+1 = 8^2x-1

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Esercizio 3:

Equazione esponenziale: 3^x-3^x-2+3^x+1=35

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Esercizio 4:

Equazione esponenziale: 8^x-1 = radice quadrata di 3 2^x-3

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Esercizio 5:

Equazione esponenziale: 8+2^x+1 = 2^2x

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Esercizio 6:

Equazione esponenziale: 9^x-3 = 2 * 3^x

Cliccate Qui per visualizzare lo svolgimento completo di questo esercizio sulle equazioni esponenziali.

Le Proprietà dei Logaritmi

Le Proprietà dei Logaritmi – Le proprietà dei logaritmi sono:

1) Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi.

2) Il logaritmo di un quoziente  è uguale alla differenza dei logaritmi.

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine delle proprietà dei logaritmi applicate.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine delle proprietà dei logaritmi applicate.

Cliccate Qui se invece siete anche interessati a vedere gli esercizi svolti sui logaritmi.

Esercizi sull’ellisse

Esercizi sull’ellisse – Vi lascio degli esercizi sull’ellisse con i rispettivi comandi e svolgimenti.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Scrivi in forma canonica l’ellisse determinando la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

Esercizio 1

Comando: Scrivi in forma canonica l’ellisse determinando la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

Cliccate Qui la prima immagine di questo esercizio sull’ellisse svolto.

Cliccate Qui la seconda immagine di questo esercizio sull’ellisse svolto.

Esercizio 2

Comando: Determina l’equazione dell’ellisse avente Fuoco F ( 0; -2 radice quadrata di 5) e un Vertice V (-4; 0)

Cliccate Qui l’immagine di questo esercizio sull’ellisse svolto.

Esercizio 3

Comando: Determina l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y avente Vertice V (2; 0) e passante per (1; radice di 15/2).

Cliccate Qui l’immagine di questo esercizio sull’ellisse svolto.

Esercizio 4

Scrivi l’equazione della tangente all’ellisse 9x^2 + 2y^2 = 54 nel suo punto P (-2; 3).

Cliccate Qui l’immagine di questo esercizio sull’ellisse svolto.

Definizione e formule dell’iperbole

Definizione e formule dell’iperbole – L’iperbole è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze dai fuochi.

La formula generale dell’iperbole è: x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 nel caso i fuochi stiano sull’asse x, mentre nel caso essi stiano sull’asse y: x^2/a^2 – y^2/b^2 = -1.

Nel caso dei fuochi che stanno sull’asse x, le formule sono le seguenti:

Le formule pr trovare i vertici reali sono: V1 ( -a; 0) e V2 (a; 0)

Le formule per trovare i fuochi sono: F (-c ; 0) e F2 (c; 0), e c^2=a^2 + b^2.

Le formule per trovare gli asintoti sono:

y = + b/a x

y = – b /a x

Nel caso dei fuochi che stanno sull’asse y, le formule sono le seguenti:

Le formule pr trovare i vertici reali sono: V1 (0; -a) e V2 (0; a)

Le formule per trovare i fuochi sono: F (0; -c) e F2 (0; c), e c^2=a^2 + b^2.

Le formule per trovare gli asintoti sono:

y = + b/a x

y = – b /a x

Cliccate Qui se vi trovate meglio a visualizzare direttamente l’immagine del foglio con tutte le formule dell’iperbole scritte.

Definizione e formule dell’ellisse

Definizione e formule dell’ellisse – L’ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti detti fuchi.

La formula generale dell’ellisse è: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

a è il semiasse maggiore, mentre b è il semiasse minore.

Ecco un esempio di un’equazione di un ellisse: x^2/64 + y^2/16 = 1

a = 8

b = 4

Le formule principali dell’ellisse sono le seguenti.

Per trovare il fuochi dell’ellisse:

F1 ( – c; 0) e F2 (c; 0) nel caso a^2 fosse maggiore di b^2. La formula per trovare c è radice quadrata di a^2 – b^2

Cliccate Qui se vi è più chiaro visualizzare direttamente l’immagine del procedimento.

F1 (0; – c) e F2 (0; + c) nel caso b^2 fosse maggiore di a^2. La formula per trovare c è radice quadrata di b^2 – a^2

Cliccate Qui se vi è più chiaro visualizzare direttamente l’immagine del procedimento.

Le formule per trovare i vertici dell’ellisse sono: (+ o – a; 0) e (0; + o – b).

Le formule per trovare l’eccentricità dell’ellisse sono:

e = c/a se a^2 fosse maggiore di b^2.

e = c/b se b^2 fosse maggiore di a^2.

Cliccate Qui se vi è più chiaro visualizzare direttamente l’immagine delle due formule dell’eccentricità.

Esercizi sulla circonferenza

Esercizi sulla circonferenza – Vi lascio degli esercizi sulla circonferenza con i rispettivi comandi e svolgimenti.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Primo esercizio:

Determina l’equazione della circonferenza di raggio 6 che ha centro in Q ( 3/2;2).

Cliccate Qui se volete visualizzare direttamente l’immagine con lo svolgimento di questo esercizio sulla circonferenza.

Secondo esercizio:

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per A (-3;3) B (1;-1) C (1;3)

Cliccate Qui se volete visualizzare direttamente l’immagine con lo svolgimento di questo esercizio sulla circonferenza.

Terzo esercizio:

Determinare l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A (-3;1) B (2;5)

Cliccate Qui se volete visualizzare la prima immagine con lo svolgimento di questo esercizio sulla circonferenza.

Cliccate Qui se volete visualizzare la seconda immagine con lo svolgimento di questo esercizio sulla circonferenza.

Cliccate Qui se siete interessati anche a vedere gli svolgimenti di alcuni esercizi inerenti alle tangenti.

Formule della circonferenza

Formule della circonferenza – Le formule principali della circonferenza sono quelle del:

– Centro, la cui formula è: (-a/2; -b/2)

– Raggio, la cui formula è: radice quadrata di (-a/2)^2 + (-b/2)^2 – c

Vi ricordo che l’equazione generale di una circonferenza è: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Cliccate Qui se volete visualizzare direttamente l’immagine con le formule della circonferenza scritte sul foglio.

Le formule della parabola

Le formule della parabola – Quali sono le formule della parabola

Equazione della parabola con asse parallelo all’asse y:  y = ax^2 + bx + c

Formula dell’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x: x = ay^2 + by + c

Formula del vertice della parabola con asse parallelo all’asse y: (- b/2a; – delta /4a)

Formula del vertice della parabola con asse parallelo all’asse x: (- delta/4a; -b/2a)

Formula del fuoco della parabola con asse parallelo all’asse y: x = -b/2a

Formula del fuoco della parabola con asse parallelo all’asse x: 1 – delta/4a; -b/2a

Formula della direttrice della parabola con asse parallelo all’asse y: y = -1 + delta/4a

Formula della direttrice della parabola con asse parallelo all’asse x: x = -1 + delta/4a

Cliccate Qui se volete visualizzare direttamente l’immagine con le formule scritte.

Le formule della retta

Le formule della retta – Le formule della retta sono le seguenti:

Formula della distanza fra due punti: radice quadrata di (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2

Formula del punto medio: x1+x2/2 e y1+y2/2

Formula della retta in forma esplicita: y = mx + q

Formula della retta in forma implicita: ax+ by + c = 0

Formula della retta passante per due punti: x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1

Formula della retta passante per un punto per trovare l’equazione di una retta: y – y1 = m (x – x1)

Formula della distanza di un punto da una retta: d = | ax0 + by0 + c | / radice quadrata di a^2 + b^2 (x0 e y0 fanno riferimento alle coordinate del punto P).

Cliccate Qui se vi trovate meglio visualizzando direttamente l’immagine con le formule scritte.

Definizione di Circonferenza

Definizione di Circonferenza – La definizione di Circonferenza è la seguente:

La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro.

La formula generale della circonferenza è: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Esercizi sulle rette tangenti alla parabola

Esercizi sulle rette tangenti alla parabola – Vi lascio degli esercizi sulle rette tangenti alla parabola con i rispettivi comandi e svolgimenti.

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Primo esercizio:

Data la parabola di equazione y = 3/2x^2 – x + 5, determina l’equazione della retta tangente nel punto P (2;9).

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Secondo esercizio:

Calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = – 2x^2 + x + 1 nel suo punto di ascissa nulla e verifica che la retta è parallela alla bisettrice del primo e del secondo quadrante.

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Cliccate Qui per visualizzare la terza immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Terzo esercizio:

Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P (2;8) e tangenti alla parabola di equazione y = – 2 x^2 + 16x – 24. Determinare inoltre le coordinate dei punti di tangenza.

Cliccate Qui per visualizzare la prima immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Cliccate Qui per visualizzare la terza immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette tangenti alla parabola.

Esercizi sulle rette parallele e perpendicolari

Esercizi sulle rette parallele e perpendicolari – Vi lascio i principali esercizi sulle rette parallele e perpendicolari con comando e svolgimento (anche grafico, alla fine del post).

Gli esercizi sono stati svolti personalmente da me e corretti da una professoressa di matematica.

Scrivere la retta parallela e perpendicolare alla retta data passante per A (-3;0)

2x + 3y – 1 = 0

y = -2x / 3 + 1/3

Retta passante per A e parallela:

y – y0 = m (x – x0)

y – 0 = -2/3 (x + 3)

y = -2/3x – 2

y = -2x / 3 – 2

Retta passante per A e perpendicolare:

m = 3/2

y – 0 = 3/2 (x + 3)

y – 0 = 3/2x + 9/2

y = 3/2x + 9/2

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento di questi 2 esercizi sulle rette parallele e perpendicolari.

Scrivi l’equazione della retta che:

a) E’ perpendicolare alla retta passante per A (2;5)  e B (-3;-1)

b) Passa per il centro C (-2;3)

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette parallele e perpendicolari.

Cliccate Qui per visualizzare il continuo dell’immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette parallele e perpendicolari.

Data la retta di equazione 3x – y + 4 = 0 e il punto A (-1;3) scrivere:

a) L’equazione della retta parallela e passante per A

b) L’equazione della retta perpendicolare e passante per A.

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Scrivi l’equazione della retta parallela e perpendicolare passanti per A (-4;-3)

Cliccate Qui per visualizzare l’immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette parallele e perpendicolari.

Cliccate Qui per visualizzare la seconda immagine dello svolgimento di questo esercizio sulle rette parallele e perpendicolari.

Appartenenza di un punto ad una retta

Appartenenza di un punto ad una retta – L’appartenenza di un punto ad una retta si verifica quando, sostituendo le coordinate di un punto P (x e ad y a) quelle della retta di equazione, il risultato è 0.

Esempio pratico:

Retta: 2x – 6y – 1 = 0

Punto P: (-1;2).

Sostituiamo dunque le coordinate del punto P ad x e ad y della retta: 2 (-1)  -6 (2) -1 = 0 —> -15 = 0

In questo caso il punto non appartiene alla retta perché il risultato non è uguale a 0.

Invece, nel caso di questi dati:

Retta: 2x – 6y – 1 = 0

Punto P (1 ; 1/6)

possiamo costatare che il risultato è di 0=0, quindi il punto P appartiene alla retta.

Svolgimento: 2(1) – 6 (1/6) – 1 = 0 —> 2 – 6/6 – 1 = 0 —> 0 = 0

Formula della distanza di un punto da una retta

Formula della distanza di un punto da una retta – La formula della distanza di un punto da una retta è:

ax0 + by0 + c
d = ———————-
 (a2 + b2)

I valori x0 e y0 fanno riferimento alle coordinate del punto P (x0;y0).

Retta in forma implicita: ax + by + c = 0 – La distanza è il segmento perpendicolare alla retta.

Rette parallele e rette perpendicolari

Rette parallele e rette perpendicolari – Definizione delle rette parallele e perpendicolari con esempio

Rette parallele – Due rette si dicono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare.

y = 2x – 4

y = 2x + 7

Queste due sono delle rette parallele perché hanno lo stesso coefficiente angolare (il numero accanto alla x).

Rette perpendicolari  – Due rette sono perpendicolari quando il coefficiente angolare di una è uguale all’antireciproco del coefficiente dell’altra.

m1 = 1 / 2

m2= -2

m1 = – 1 / m2

Formula della retta passante per un punto

Formula della retta passante per un punto – La formula della retta passante per un punto assegnato è: y – y0 = m (x – x0).

Questa formula fa riferimento alle coordinate di un punto P (x0;y0).

Esempio pratico

Dato un punto P (2;7) e coefficiente angolare m = 3, trovare la retta.

y + 7 = 3 (x – 2) —> y + 7 = 3x – 6 —> y = 3x – 13

Risultato: 3x – 13

Cliccate Qui per visualizzare l’esempio pratico della retta passante per un punto assegnato.

Formula della retta passante per 2 punti

Formula della retta passante per 2 punti – La formula della retta passante per 2 punti assegnati è:

y – y1 / y2 – y1 = x – x1 / x2 – x1

Facciamo un esempio:

se abbiamo due punti A e B con coordinate: A (2;3) e B (-1;5) lo svolgimento sarebbe:

Y + 3 / 5 + 3 = X – 2 / -1 -2 —-> Y + 3 / 8 = X -2 / -3 —-> Y + 3/ 8 = – X – 2 / 3  —> 3y + 9 / 24 = -8x – 16 / 24

—-> 3y + 9 = -8x + 16 —-> 3y + 9 + 8x -16 = 0 —-> 8x + 3y – 7 = 0

Risultato: 8x + 3y – 7 = 0

La Quadratura del Cerchio

La Quadratura del Cerchio – La questione della quadratura del cerchio è stata dibattuta fin dall’antichità e risale all’origine stessa della cienza della geometria. Il problema sta nel costruire un quadrato della stesa area di un cerchio dato. Per far ciò sarebbe necessario conoscere con esattezza quel fattore numerico che indica il rapporto tra il diametro del cerchio e la sua circonferenza; in sostanza il problema sarebbe risolvibile se si conoscesse il numero esatto per il quale moltiplicare il diametro al fine di ottenere la misura della circonferenza. Già l filosofo e il matematico Archimede (268 a. C. – 212 a. C.) dedicò problema un’intera opera, De mensura circuli (La misura del cerchio), nella sua circonferenza; ma i matematici babilonesi e quelli egiziani erano cimentati nel problema ancora prima.

Solo nel 1882 il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostre che il problema della quadratura del cerchio era irrisolvibile: il rapporto tra il diametro e circonferenza di approssimato all’infinito, non è calcolabile in maniera esatta. Il π è infatti un numero irrazionale – sono irrazionali quei numeri che non possono essere scritti in forma di frazione con numeratore e denominatore interi – e non algebrico, e come tale non se ne può calcolare la radica quadrata.

Riassunto Canto Paradiso 33

Riassunto Canto Paradiso 33 – Il canto si apre con la preghiera che san Bernardo rivolge alla Vergine Maria: egli prima ne esalta l’umilità e la sublimità, soffermandosi sui misteri teologici che riguardano l’incarnazione di Cristo e la sua opera di corredentrice; poi, chiede che sostenga Dante nella visione ultima. Alla preghiera si uniscono tutti i beati, e la Madonna prima fissa benevolmente Bernardo,poi Dio: è il segno che ha accondisceso. Dante, allora, sente in sé nuova forza e, senza che ci sia bisogno che il santo lo esorti a farlo, alza lo sguardo. Quello che allora vide non è esprimibile a parole: egli non ne ha conservato un ricordo distinto, a un senso di suprema dolcezza come da sogno. Scrivendo, si sforza di celebrare degnamente la gloria di Dio e lotta contro l’insufficienza del linguaggio e l’indebolirsi della memoria; ma di fronte a un simile spettacolo, avverte, le sue parole sono ormai come quelle di un bambino.E gli vide infatti la totalità dell’universo e ciò che lo tiene insieme; quindi contemplò il mistero della Trinità e dell’Incarnazione, che non possono essere oggetto della comprensione razionale. Nella sua tensione, egli era simile a chi cerchi inutilmente la quadratura del cerchio: ma proprio allora la grazia giuse in suo soccorso, folgorandolo, e lo rese partecipe de’ordine divino.

Riassunto Canto Paradiso 32

Riassunto Canto Paradiso 32 – San Bernardo assume il ruolo di guida di Dante e inizia a mostrargli i beati della candida rosa. Ai piedi di Maria si trova Eva; nella terza fila dall’alto ci sono Rachele e Beatrice; poi Sara, Rebecca, Giuditta e Ruth. Le donne ebree, in fila uno sotto l’altra, dividono la rosa in due parti: da un lato i beati dell’Antico Testamento, dall’altro, quelli del Nuovo, tra i quali vi sono dei seggi ancora vuoti. Di fronte a Maria siede Giovanni Battista.

Sotto di lui si trovano san Francesco, san Benedetto e sant’Agostino. In basso stanno i bambini morti innocenti, salvati solo per grazia di Dio. La loro presenza suscita in Dante un dubbio: perché essi si trovano su gradi diversi mostrando così di avere livelli di beatitudine differenti? San Bernardo spiega che l’ordine non è casuale, come non lo  niente in Paradiso: la disposizione dei bambini rispecchia la misura diversa di grazia che Dio ha concesso loro. Il santo aggiunge poi un’osservazione di natura generale: prima di Abramo bastava la fede dei padri per salvarsi, nel tempo intercorso da Abramo a Cristo era necessaria la circoncisione; dopo la venuta di Cristo divenne necessario il battesimo. Quindi, Bernardo esorta Dante a guardare la Madonna per disporsi alla visione di Cristo.

Attorno a lei volano gli Angeli, e uno in particolare canta l’Ave Maria, distendendo le ali. La corte dei beati risponde a quel canto. Dante chiede chi sia. Il santo risponde che si tratta dell’arcangelo Gabriele, che annunciò alla Vergine la nascita di Gesù. I due che siedono ai lavati di Maria, sono da una parte Adamo e Mosè, dall’altra Pietro e Giovanni Evangelista; di fronte a loro stanno sant’Anna madre di Maria, e santa Lucia.

Adesso è tempo, continua san Bernardo, di volgere gli occhi a Dio.

Ma prima è necessario invocare Maria affinché interceda per Dante. Prima che la preghiera inizi, il canto si chiude.

Le Gerarchie Angeliche

Le Gerarchie Angeliche – Gli angeli la cui esistenza è stata riconosciuta come una verità di fede dalla tradizione cattolica, sono creature di Dio, ricordate sia nell’Antico sia nel Nuovo Testamento. Anche nella religione ebraica e in quella musulmana le figure degli Angeli rivestono una decisa importanza tra le creature divine; secondo il credo ebraico essi sono preposti alla glorificazione di Dio, mentre per i musulmani essi svolgono una funzione di intermediazione e intercessione tra Dio e gli uomini, analoga a quella cristiana.

La gerarchie degli Angeli venne classificata in maniera sistematica da Dionigi l’Aeropagita, filosofo e teologo, vissuto probabilmente alla fine del V secolo. A lui è attribuita l’opera De coelesti hierarchia (La gerarchia celeste), in cui, sulla base di alcuni passi delNuovo Testamenti, egli distingue tra gerarchie o sfere di angeli, all’interno delle quali individua rispettivamente tre differenti cori. Questa classificazione, era esemplata sul modello della gerarchia ecclesiastica. Di seguito vi riporto la gerarchia che va dai gradi più alti a quelli più bassi (quindi in direzione opposta a quella seguita da Dante nel Paradiso, che pure la rispetta fedelmente).

Prima Gerarchia:

Sefaini

Cherubi

Troni

Seconda Gerarchia:

– Dominazioni

– Virtù

– Podestà

Terza Gerarchia:

– Principati

– Arcangeli

– Angeli

Chi è Bernardo di Chiaravalle

Chi è Bernardo di Chiaravalle – Bernardo di Chiaravalle è una delle principali figure del cristianesimo, del XII secolo. Nato nel 1090, fu ordinato monaco cistercense e fondò l’abbazia di Clairvaux (in italiano: Chiaravalle) in Borgogna. Fu consigliere di sovrani e papi, e predicò a favore della seconda crociata. Fu anche uno dei più grandi mistici del Medioevo e come teologo, avversò le correnti puramente razionalistiche interne al pensiero cattolico. Morì nel 1153. E’ autore di varie opere di meditazione, lettere, trattati e dei Sermones in laudibus Virgnis Matris (Discorsi in lode della Vergine Madre).

Dante ne fa la propria guida nella parte finale del viaggio ultraterreno, per farsi introdurre alla visione di Dio. E’ probabile che questa scelta dipenda da un lato dalla natura mistica e contemplativa di Bernardo, dall’altro della sua particolare devozione alla Madonna, cui è rivolta la splendida preghiera con cui si apre il XXXIII canto.

Riassunto Canto Paradiso 31

Riassunto Canto Paradiso 31 – Dante è giunto all’Empireo, vera sede di Dio e dei beati. Questi ultimi, con i loro seggi disposti come in un teatro circolare a gradoni, formano una rosa luminosa; mentre glia Angeli, come api, volano da Dio alle anime per portare loro la sua carità. Lo stupore di Dante, giunto a un simile spettacolo dalle miserie e dalle pene del mondo e di Firenze, è maggiore di quello dei barbari che, arrivando dalle loro terre scoprirono la grandezza di Roma. Il poeta contempla la forma generale del Paradiso e si volta per interrogare Beatrice, ma al suo posto vede un vecchio risplendente: questi è stato inviato dalla donna, che ora siede nella candida rosa, per guidarlo nell’ultima e più ardua parte del suo viaggio. Sebbene lontanissima, Dante la vede con chiarezza: la ringrazia per averlo scortato sin l e la prega di assisterlo sino alla morte. Beatrice gli sorride benevola, e torna a guardare Dio Il vecchio allora si presenta: è san Bernardo che, i nome della sua particolare devozione per la Madonna, invita il poeta a guardare ancora la rosa e, in essa, a stessa Vergine: Solo così egli potrà gustare davvero la goia del paradiso. Dante, soccorso dalla grazia di Dio, alza gli occhi e riesce a fissare l margine estremo della rosa dove, festeggiata da mille angeli e confusa di luce, c’è aria. La sua bellezza non potrà essere espressa a Parola. Quando Bernardo certo che Dante può vederla, si rivolge anch’egli a lei.

Riassunto Canto Paradiso 30

Riassunto Canto Paradiso 30 – I cori angelici scompaiono dalla vista di Dante, che rivolge lo sguardo a Beatrice. La donna gli appare nel culmine della sua bellezza, al punto che il poeta non riesce a rendere attraverso il linguaggio il suo aspetto ormai ineffabile.

Beatrice spiega a Dante che si trovano nell’Empireo, fatto solo di luce, amore e gioia. Qui egli vedrà le due milizie del Paradiso, quella degli angeli e quella dei beati, riunite insieme. I beati gli appariranno con il corpo, che riacquisteranno però solo il giorno del Giudizio Finale. Una luce abbagliante acceca il poeta: come spiega Beatrice,  il saluto che l’Empireo riserva a chi vi giunge, non per togliergli la vista, ma per fortificarlo.

Così, il poeta riesce a vedere un fiume di luce, tra due rive fiorite, da cui escono faville che si dispongono tra i fiori. Beatrice chiarisce che si tratta di un’immagine figurale che anticipa la vera visione,e per quale Dante non è ancora pronto. Le faville rappresentano gli angeli, mentre i fiori alludono ai beati.

Dante fissa gli occhi nel fiume di luce e finalmente gli appare la visione reale: il fiume diviene un cerchio e all’immagine dei fiori e delle faville si sostituisce quella delle due corti del cielo, composte dagli angeli e dai beati. Questi ultimi sono disposti in forma di rosa, come in un immenso antiteatro con più di mille crani, mentre gli angeli fanno la spola tra Dio e i beati. Dante appunta la sua attenzione su un seggio vuoto. Beatrice gli spiega che presto verrà occupato dall’imperatore Arrigo VII, che scenderà in Italia per tentare di risollevarne le sorti; a papa Clemente V si opporrà intralciando il suo cammino. Egli morirà comunque presto e sostituirà dei simoniaci in cui sono conficcati i pontefici corrotti.

Riassunto Canto Paradiso 29

Riassunto Canto Paradiso 29 – Beatrice, in silenzio, guarda direttamente Dio per un breve intervallo di tempo. Poi, inizia a parlare, avendo già compreso la domanda ce il poeta vorrebbe rivolgerle. L’amore di Dio creò gli angeli nell’eternità al di fuori dello spazio e del tempo. Le prime sostanze create simultaneamente furono la pura forma, che si dispose in alto a formare le intelligente angeliche, e la materia, che si collocò in basso, sulla Terra; la lro indissolubile unione, invece, andò a formare ciò che sta tra l’Empireo e il globo terrestre, cioè i cieli. Subito una parte degli angeli, appena creati, turbarono la crosta terrestre precipitandovi; gli altri rimasero nell’Empireo e iniziarono a ruotare intorno a Dio. La causa della caduta fu la punizione della superbia di Lucifero. Gli angeli rimasti fedeli furono ammessi alla visione di Dio e resi dunque più perfetti. Si crede che essi esercitino l’intelligenza, la volontà e la memoria proprio come gli esseri umani, ma ciò è falso: essi, infatti, godono perennemente della visione di Dio e vedono tutto simultaneamente, dunque non hanno bisogno di ricordare niente. Beatrice critica aspramente coloro che inventano nuove dottrine sulle verità teologiche o per ignoranza o per mala fede. I predicatori, inoltre, sono pieni di vanità e promettono indulgenze ai fedeli, senza avere realmente la facoltà di dispensarle.

Infine, Beatrice precisa che gli angeli sono innumerevoli. Dio emana la sua luce su di loro, ed essi la accolgono ciascuno secondo la propria capacità di riceverla. Dio si rispecchia negli angeli, pur restando sempre uno.

Riassunto Canto Paradiso 28

Riassunto Canto Paradiso 28 – Beatrice ha terminato il suo discorso. Dante la guarda negli occhi e vede un punto luminosissimo riflesso in essi. Allora, egli si volta per accertarsi che esso corrisponda a una luce reale, e vede effettivamente un punto luminoso incredibilmente piccolo, attorno al quale ruota velocissimo un cerchio di fuoco, a sua volta cinto da altri otto cerchi Essi sono progressivamente più lenti nel ruotare e meno luminosi, a seconda della distanza dal punto di luce che si trova il centro.

Beatrice spiega a Dante che da quel punto dipende il cielo e tutta la natura; il cerchio che gli sta più vicino si muove più velocemente perché  stimolato direttamente da esso. Dante si chiede come mai il cerchio più vicino alla terra è quello più lento e lontano da Dio, contrariamente all’immagine che ha davanti agli occhi. Beatrice gli risponde: le sfere corporee, che circondano la terra, sono più grandi o più piccole a seconda della maggiore o minore quantità di virtù in esse diffusa; il cerchio più grande, quello che avvolge tutti gli altri e che risulta più distante dalla terra, corrisponde a quello che contiene più amore ed è più piccolo e più vicino a Dio. Il mondo sensibile, dunque, appare rovesciato rispetto al modello intelligibile che Dante ha davanti agli occhi.

Dante è rasserenato dalla spiegazione. Beatrice tace e i cerchi risplendono e cantano inni di lode a Dio. Beatrice, allora illustra al poeta la distribuzione delle intelligenze angeliche nei vari cerchi: i Serafini stanno nel primo; seguono i Cherubini e i Troni; nei tre cerchi successivi si trovano Dominazioni, Virtrù e Podestà; negli ultimi tre, infine, i Principati, gli Arcangeli e gli Angeli. Tutti gli ordini angelici guardano in alto verso Dio e emanano la loro influenza verso il basso. Fu san Dionigi a classificare correttamente le gerarchie angeliche; san Gregorio, invece, si distaccò da lui nel descriverle, errando. A san Dionigi, la corretta disposizione fu rivelata da san Paolo, che l’aveva vista con i suoi occhi.

Chi è San Pietro

Chi è San Pietro – San Pietro è uno dei dodici apostoli di Cristo. Era un pescatore originario della città di Cafarnao, in Galilea. Gesù mutò il suo nome originario, Simone, in Kefa, che in ramaico significa pietra e in greco si dice Petros. Infatti, nel Vangelo di Matteo Cristo si rivolge a lui dicendogli: Tu sei Pietro e su questa pietra edificherò la mia Chiesa, e le porte degli inferi non prevarranno contro di essa. A te darò le chiavi del regno dei cielo, e tutto ciò che legherai sulla terra sarà legato nei cieli, e tutto ci che scioglierai sulla terra sarà sciolto nei cieli. Dopo la morte di Gesù, Pietro predicò la sua parola e trascorse gli ultimi anni della sua vita a Roma, dove morì da partire, crocifisso a testa in giù nel 67 a. C., durante le persecuzioni dell’imperatore Nerone contro i cristiani. Sulla sua tomba venne edificata nel IV secolo la basilica a lui intitolata, ampliata nel Medioevo e interamente ricostruita nel Cinquecento.